Dans chacun des cas suivants on donne l'expression d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est une fonction trinôme du second degré en déterminant les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax^2+bx+c$.
a. Développons l'expression :
$\begin{aligned}5(4x-9)(4x+6) &=5(16x^2+24x-36x-54)\\ &=5(16x^2-12x-54)\\ &=80x^2-60x-270\end{aligned}$
Donc $f(x)=80x^2-60x-270$ s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=80$
$b=-60$
$c=-270$
Comme $a\not=0$, cela montre que $f$ est une fonction polynôme du second degré.
b. Développons l'expression :
$\begin{aligned}-6(x+5)^2&=-6(x^2+10x+25)\\ &=-6x^2-60x-150\end{aligned}$
Donc $f(x)=-6x^2-60x-150$ s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-6$
$b=-60$
$c=-150$
Comme $a\not=0$, cela montre que $f$ est une fonction polynôme du second degré.
c. Développons l'expression :
$\begin{aligned}-(x-9)^2-6&=-(x^2-18x+81)-6\\ &=-x^2+18x-81-6\\ &=-x^2+18x-87\end{aligned}$
Donc $f(x)=-x^2+18x-87$ s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-1$
$b=18$
$c=-87$
Comme $a\not=0$, cela montre que $f$ est une fonction polynôme du second degré.