L'expression $f(x)$ est la forme développée $ax^2+bx+c$ de l'expression d'une fonction polynôme du second degré avec :

$a=-4$ ; $b=-8$ et $c=-1$.

Calculons :

• $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-\left(-8\right)}{2\times \left(-4\right)}=\dfrac{8}{-8}=-1$

• $\beta=f(\alpha)=f\left(-1\right)$

  $\begin{aligned} \beta&= -4\times \left(-1\right)^{2}-8\times \left(-1\right)-1\\ &= -4\times 1+8-1\\ &= -4+8-1\\ &= 3 \end{aligned}$

Nous voyons que $a<0$, par conséquent la courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $\mathrm{S}\left(-1~;~3\right)$ tournée vers le bas.

Voici le tableau de variations :

Par ailleurs, nous avons $f(0)=-1$, donc un autre point de la parabole est $\mathrm{A}(0~;~-1)$.

Voici la courbe représentative :

L'expression $f(x)$ est la forme développée $ax^2+bx+c$ de l'expression d'une fonction polynôme du second degré avec :

$a=\dfrac{1}{5}$ ; $b=2$ et $c=4$.

Calculons :

• $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2}{2\times \dfrac{1}{5}}=\dfrac{-2}{\dfrac{2}{5}}=-5$

• $\beta=f(\alpha)=f\left(-5\right)$

  $\begin{aligned} \beta&= \dfrac{1}{5}\times \left(-5\right)^{2}+2\times \left(-5\right)+4\\ &= \dfrac{1}{5}\times 25-10+4\\ &= 5-10+4\\ &= -1 \end{aligned}$

Nous voyons que $a>0$, par conséquent la courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $\mathrm{S}\left(-5~;~-1\right)$ tournée vers le haut.

Voici le tableau de variations :

Par ailleurs, nous avons $f(0)=4$, donc un autre point de la parabole est $\mathrm{A}(0~;~4)$.

Voici la courbe représentative :