Propriété - Forme canonique

Soient $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels avec $a\neq0$.

On considère la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=ax^2+bx+c.$

On peut écrire l'expression $f(x)$ sous la forme :

$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=\dfrac{-b}{2a}\text{ et }\beta=f(\alpha)$

C'est la forme canonique de l'expression de la fonction.

Dans les questions suivantes, la fonction $f$ est une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$. Donner les nombres réels $a$, $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

  1. $f(x)=-2(x-7)^2+3$
  2. $f(x)=-2+(x+5)^2$
  3. $f(x)=6(x+4)^2$

a. On reconnaît directement le modèle de la forme canonique :

$\underbrace{-2}_{a}\left(x-\underbrace{7}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{3}_{\beta}$

Ainsi l'expression considérée s'écrit sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec :

  • $a=-2$
  • $\alpha=7$
  • $\beta=3$

b. Écrivons l'expression pour qu'elle corresponde au modèle de la forme canonique :

$-2+\left(x+5\right)^2=\underbrace{1}_{a}\left(x-\underbrace{\left(-5\right)}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{\left(-2\right)}_{\beta}$

Ainsi l'expression considérée s'écrit sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec :

  • $a=1$
  • $\alpha=-5$
  • $\beta=-2$

c. Écrivons l'expression pour qu'elle corresponde au modèle de la forme canonique :

$6\left(x+4\right)^2=\underbrace{6}_{a}\left(x-\underbrace{\left(-4\right)}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{0}_{\beta}$

Ainsi l'expression considérée s'écrit sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec :

  • $a=6$
  • $\alpha=-4$
  • $\beta=0$

Dans chacun des cas suivants déterminer la forme canonique de $f(x)$.

Vérifier la réponse en développant et réduisant.

  1. $f(x)=x^2+5x+3$

  2. $f(x)=-x^{2}+4x+2$

  3. $f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{5}x$

  4. $f(x)=3x^2-5$

  5. $f(x)=x^{2}+4x+4$

a. L'expression $x^{2}+5x+3$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=1$ ; $b=5$ et $c=3$.

  • Calculons $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-5}{2\times 1}=\dfrac{-5}{2}$.

  • Nous calculons maintenant $\beta=f(\alpha)=f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ :

    $\begin{aligned} \beta&= \left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+5\times \left(-\dfrac{5}{2}\right)+3\\ &= \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+3\\ &= \dfrac{25}{4}-\dfrac{50}{4}+\dfrac{12}{4}\\ &= \dfrac{25-50+12}{4}\\ &= -\dfrac{13}{4} \end{aligned}$

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$, par conséquent :

$f(x)=\underbrace{1}_{a}\left(x-\underbrace{\left(-\dfrac{5}{2}\right)}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{\left(-\dfrac{13}{4}\right)}_{\beta}=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{13}{4}$.

Vérification :

$\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{13}{4}=x^2+5x+\dfrac{25}{4}-\dfrac{13}{4}=x^2+5x+\dfrac{12}{4}=x^2+5x+3$.

b. L'expression $-x^{2}+4x+2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=-1$ ; $b=4$ et $c=2$.

  • Calculons $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times \left(-1\right)}=\dfrac{-4}{-2}=2$.

  • Nous calculons maintenant $\beta=f(\alpha)=f\left(2\right)$ :

    $\begin{aligned} \beta&= -2^{2}+4\times 2+2\\ &= -4+8+2\\ &= 6 \end{aligned}$

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$, par conséquent :

$f(x)=\underbrace{-1}_{a}\left(x-\underbrace{2}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{6}_{\beta}=-\left(x-2\right)^2+6$.

Vérification :

$-\left(x-2\right)^2+6=-(x^2-4x+4)+6=-x^2+4x-4+6=-x^2+4x+2$.

c. L'expression $\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{5}x$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=\dfrac{1}{4}$ ; $b=\dfrac{3}{5}$ et $c=0$.

  • Calculons $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-\dfrac{3}{5}}{2\times \dfrac{1}{4}}=\dfrac{-\dfrac{3}{5}}{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{6}{5}$.

  • Nous calculons maintenant $\beta=f(\alpha)=f\left(-\dfrac{6}{5}\right)$ :

    $\begin{aligned} \beta&= \dfrac{1}{4}\times \left(-\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\dfrac{3}{5}\times \left(-\dfrac{6}{5}\right)\\ &= \dfrac{1}{4}\times \dfrac{36}{25}-\dfrac{18}{25}\\ &= \dfrac{9}{25}-\dfrac{18}{25}\\ &= \dfrac{9-18}{25}\\ &= -\dfrac{9}{25} \end{aligned}$

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$, par conséquent :

$f(x)=\underbrace{\dfrac{1}{4}}_{a}\left(x-\underbrace{\left(-\dfrac{6}{5}\right)}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{\left(-\dfrac{9}{25}\right)}_{\beta}=\dfrac{1}{4}\left(x+\dfrac{6}{5}\right)^2-\dfrac{9}{25}$.

Vérification :

$\begin{aligned} \dfrac{1}{4}\left(x+\dfrac{6}{5}\right)^2-\dfrac{9}{25} &=\dfrac{1}{4}\left(x^2+\dfrac{12}{5}x+\dfrac{36}{25}\right)-\dfrac{9}{25}\\[1em] &=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{9}{25}-\dfrac{9}{25}\\[1em] &=\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{5}x \end{aligned}$

d. On remarque que : $f(x)=3x^2-5=\underbrace{3}_{a}\left(x-\underbrace{0}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{(-5)}_{\beta}$.

Par conséquent $f(x)$ est déjà écrit sous forme canonique.

e. L'expression $x^{2}+4x+4$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=1$ ; $b=4$ et $c=4$.

  • Calculons $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times1}=\dfrac{-4}{2}=-2$.

  • Nous calculons maintenant $\beta=f(\alpha)=f(-2)$ :

    $\begin{aligned} \beta&=(-2)^2+4\times(-2)+4\\ &=4-8+4\\ &=0 \end{aligned}$

La forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$, par conséquent :

$f(x)=\underbrace{1}_{a}\left(x-\underbrace{(-2)}_{\alpha}\right)^2+\underbrace{0}_{\beta}=(x+2)^2$.

Remarque

On pouvait remarquer directement que $x^2+4x+4=(x+2)^2$ (identité remarquable) et ainsi obtenir la forme canonique sans faire aucun calcul.