Soient $a$, $\alpha$ et $\beta$, trois nombres réels où $a\neq0$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.
Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de $f$ est une parabole dont le sommet $\mathrm{S}$ a pour coordonnées $(\alpha ; \beta)$.
La parabole admet un axe de symétrie qui est la droite d'équation $x=\alpha$.
Il y a deux cas possibles suivant le signe de $a$.
Lorsque $a>0$, la parabole est tournée vers le haut :
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$x$
$f$
$-\infty$
$+\infty$
$\alpha$
$\beta$
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$\mathrm{S}(\alpha ; \beta)$
$x=\alpha$
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Lorsque $a<0$, la parabole est tournée vers le bas :
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$x$
$f$
$-\infty$
$+\infty$
$\alpha$
$\beta$
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$\mathrm{S}(\alpha ; \beta)$
$x=\alpha$
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Remarque
Lorsque $\alpha=0$, $f(x)=ax^2+\beta$, la parabole admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées et son sommet est $\mathrm{S}(0~;~\beta)$.
Dans un repère orthonormé du plan, représenter la parabole :
de sommet $\mathrm{S}(-3 ; -1)$ ;
qui passe par le point $\mathrm{A}\left(-6 ; 6\right)$.
Même question avec $\mathrm{S}\left(-2 ; 0\right)$ et $\mathrm{A}\left(2 ; -5\right)$.
Voici les étapes à suivre pour dessiner la parabole :
Placer le sommet $\mathrm{S}(-3 ; -1)$ et tracer l'axe de symétrie $\Delta$ de la parabole, c'est-à-dire la droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par $\mathrm{S}$.
Placer le point $\mathrm{A}\left(-6 ; 6\right)$ ainsi que le point $\mathrm{A'}$, symétrique du point $\mathrm{A}$ par rapport à $\Delta$.
Tracer la parabole.
Pour la parabole de sommet $\mathrm{S}\left(-2 ; 0\right)$ et qui passe par $\mathrm{A}\left(2 ; -5\right)$ on suit les mêmes étapes et on obtient le graphique suivant :
Dans chacun des cas suivants la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, dresser son tableau de variations et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'expression $f(x)=3(x-5)^2+2$ est sous la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ où :
$a=3$ ; $\alpha=5$ et $\beta=2$.
Comme $a>0$ la parabole représentative de $f$ est tournée vers le haut et on a le tableau de variations :
Le sommet de la parabole est le point $\mathrm{S}(\alpha~;~\beta)$ c'est-à-dire $\mathrm{S}\left(5~;~2\right)$.
Commençons par placer le point $\mathrm{S}\left(5~;~2\right)$ ainsi que l'axe de symétrie $\Delta$ de la parabole.
Pour obtenir un autre point de la parabole nous calculons :
$f\left(4\right)=3\times \left(4-5\right)^2+2=3\times \left(-1\right)^2+2=3\times 1+2=3+2=5$.
Ainsi un autre point de la parabole est le point $\mathrm{A}(4~;~5)$.
Nous plaçons maintenant sur le dessin le point $\mathrm{A}$ et son symétrique $\mathrm{A'}$ par rapport à la droite $\Delta$ et nous terminons en traçant la parabole.
b. L'expression $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4$ est sous la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ où :
$a=-\dfrac{1}{2}$ ; $\alpha=-3$ et $\beta=4$.
Comme $a<0$ la parabole représentative de la fonction $f$ est tournée vers le bas et on a le tableau de variations :
Le sommet de la parabole est $\mathrm{S}\left(-3~;~4\right)$.
Pour obtenir un autre point de la parabole nous calculons :
$f\left(-1\right)=-\dfrac{1}{2}\times \left(-1+3\right)^2+4=-\dfrac{1}{2}\times 2^2+4=-\dfrac{1}{2}\times 4+4=\left(-2\right)+4=2$.
Ainsi un autre point de la parabole est le point $\mathrm{A}(-1~;~2)$.
Nous pouvons alors dessiner la parabole représentative de $f$ :