Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.
Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $mx+p$ :
$f:x\mapsto mx+p$
Pour tout nombre réel $x$ nous avons $f(x)=mx+p$.
Exemple
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=15+3,5x$ est une fonction affine.
En effet, nous pouvons écrire $f(x)=15+3,5x=\underbrace{3,5}_{m}x+\underbrace{15}_{p}$ sous la forme $mx+p$ avec :
$m=3,5$
$p=15$
Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.
La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=mx$ est une fonction linéaire.
La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=p$ est une fonction constante.
Exemples
La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=64$ est une fonction constante.
En effet, nous pouvons écrire $g(x)=64$ sous la forme $p$ avec $p=64$.
La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=5,5x$ est une fonction linéaire.
En effet, nous pouvons écrire $h(x)=\underbrace{5,5}_{m}x$ sous la forme $mx$ avec $m=5,5$.
Remarque
La fonction nulle définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0$ est une fonction constante car $f(x)=p$
avec $p=0$ ; c'est aussi une fonction linéraire car $f(x)=mx$ avec $m=0$.
Soit $f$ une fonction qui à un nombre $x$ associe un nombre $y$.
$f:\underbrace{x}_\text{antécédent}\longmapsto \underbrace{y}_\text{image}$
le nombre $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$ ;
le nombre $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
Exemple
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\longmapsto 15+3,5x$.
Trouver l'image :
$f:\underbrace{12}_\text{antécédent}\longmapsto \underbrace{?}_\text{image}$
On sait que $x=12$, on calcule $f(12)=15+3,5\times 12=57$, on a ainsi :
$f:\underbrace{12}_\text{antécédent}\longmapsto \underbrace{57}_\text{image}$
Trouver les antécédents :
$f:\underbrace{?}_\text{antécédent}\longmapsto \underbrace{22}_\text{image}$
On sait que $15+3,5x=22$, on cherche $x$, pour cela on résout l'équation :
$15+3,5x=22$
$3,5x=22-15$
$3,5x=7$
$x=\dfrac{7}{3,5}=2$
Ainsi l'unique antécédent de $22$ par la fonction $f$ est $2$, on a :
$f:\underbrace{2}_\text{antécédent}\longmapsto \underbrace{22}_\text{image}$